Massive Math Stuff: Dot Product点积

You can calculate the Dot Product of two vectors this way:

a · b = |a| × |b| × cos(θ)

OR you can calculate it this way:

a · b = a_x × b_x + a_y × b_y

Three or More Dimensions

a · b = a_x × b_x + a_y × b_y + a_z × b_z

a · b = |a| × |b| × cos(θ)

两个向量

\vec{a}

= [a₁, a₂,…, a_n]和

\vec{b}

= [b₁, b₂,…, b_n]的点积定义为:

\vec{a}\cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b}^T

，

这里的

\vec{b}

^T指示矩阵

\vec{b}

使用上面的例子，将一个1×3矩阵（就是行向量）乘以一个3×1向量得到结果(通过矩阵乘法的优势得到1×1矩阵也就是标量):

\begin{bmatrix} 1&3&-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\-2\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}

。

几何解释

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \;

这里 |

\vec{x}

| 表示

\vec{x}

的模（长度），θ表示两个向量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，

\vec{a}

和

\vec{b}

的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若

\vec{a}

和

\vec{b}

都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：

\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\vec{a}| \, |\vec{b}|}

从定义

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;

可以得到定理

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \;

为了证明后者是一个和前者等价的定义，需要证明前者可以导出后者。

注意：这个证明采用三维向量，但可以推广到n维的情形。

考虑向量

\vec{v} = v_1 \vec{i} + v_2 \vec{j} + v_3 \vec{k} \;

重复使用勾股定理得到

|\vec{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;

而根据第二个定义

\vec{v} \cdot \vec{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;

所以，向量

\vec{v}

和自身的点积就是其长度的平方。

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